Trabalho apresentado pelos alunos do VI Período de Matemática

Personagens Históricos

Egito

A cultura egípcia se desenvolveu no noroeste da África, no vale do rio Nilo, desde aproximadamente o ano 3200 a.C. até os primeiros séculos da era cristã. Ela manteve-se em isolamento, protegida naturalmente de invasões estrangeiras devido a sua geografia, governado pacífica e quase ininterruptamente por uma sucessão de dinastias. A matemática no antigo Egito era usada principalmente na construção dos templos, pirâmides e outras grandes obras, como os diques e as barragens, que impediam as cheias do Nilo.

Foram as mesmas cheias desse rio que levaram os egípcios a desenvolverem a geometria, que servia para dividir as terras, pois quando as águas baixavam e as divisões das propriedades sumiam era necessário reconhecê-las novamente. Eles sabiam medir áreas de triângulos, retângulos e hexágonos, e o volume de cilindros e pirâmides.

Como se vê, todas as forças da natureza sempre estiveram muito presentes na vida dos egípcios, e isto mostra porque eles as idolatravam tanto, dando muito poder para quem as propagavam como divinas (sacerdotes e faraós),  e criaram uma cultura em torno de si mesmas, fazendo com que um povo inteiro vivesse para elas e em torno delas Lançaram os fundamentos da Aritmética e da Geometria.

     Foram os pioneiros nas operações de soma, a subtração e a divisão sem nem um tipo de símbolo para representar o zero, constituíram o sistema decimal.

Papiro de Golonishev

Os Números Egípcios

Hegemonia Árabe

A civilização árabe surgiu no Oriente Médio, numa península desértica situada entre a Ásia e a África. Até o século VI, os árabes viviam em tribos, sem que houvesse um Estado centralizado. No interior da península havia tribos nômades de beduínos, que viviam basicamente do pastoreio e do comercio. Às vezes entravam em luta pela posse de um oásis ou pela liderança de uma rota comercial. Embora fossem politeístas e adorassem diversas divindades, os ídolos de todas as tribos estavam reunidos num templo, chamado Caaba, situado no centro de Meca.

MAOMÉ O PROFETA

Foi quem causou enormes transformações em seu povo e no mundo dos conhecimentos, nasceu por volta de 570, na poderosa tribo dos coraixitas. Começou aos 40 anos a pregar o islamismo, ou seja, a submissão total a Alá. . Escreveu o primeiro livro em árabe o Alcorão, foi perseguido pela cidade de Meca, fugindo assim para a cidade de Latride. Considerada assim a fuga para a hegemonia árabe através da pregação da guerra santa.

Geometria

            A álgebra de al-Khowarizmi revela inconfundíveis elementos gregos, mas as primeiras demonstrações geométricas têm pouco em comum com a geometria grega.  No século nove foi glorioso para a matemática árabe, no entanto se al-Khowarizmi se assemelha a Euclides, então Thabit era equivalente ao árabe de Papus, um comentador da matemática. Thabit fundou uma escola de tradutores para o árabe das obras de Euclides, Arquimedes, Apolônio, Ptolomeu e Eutócio, al-Khowarizmi, conhecido assim como o pai da álgebra.

            Conhecia profundamente os clássicos que traduziu que sugeriu modificações e generalizações.
Deve-se a ele a fórmula para os números amigáveis, como também a generalização do Teorema de Pitágoras se aplicar a todos os triângulos. Além de vários trabalhos sobre segmento elípticos e parabólicos. Foi ainda o criador do quadrado mágico. É de sua autoria vários trabalhos sobre segmentos elípticos e parabólicos.

Conhecia profundamente os clássicos que traduziu que sugeriu modificações e generalizações.
Deve-se a ele a fórmula para os números amigáveis, como também a generalização do Teorema de Pitágoras se aplicar a todos os triângulos. Além de vários trabalhos sobre segmento elípticos e parabólicos. Foi ainda o criador do quadrado mágico. É de sua autoria vários trabalhos sobre segmentos elípticos e parabólicos.

Mesopotâmia

    A Mesopotâmia foi sempre uma região muito conturbada por guerras entre povos da região (dentre eles os Sumérios, Acádios, Amoritas, Caldeus e Hititas), cada um impondo-se temporariamente sobre seus antecessores. Mas a matemática desenvolvida pelos povos da Mesopotâmia entre os anos de 2800 a 1880 a.C. dão suportes lógicos e consistentes aos anseios de todas as culturas posteriores, demonstrando, assim, sua grande relevância histórica.

O Sistema de Numeração

É difícil saber se foram os egípcios ou os sumérios os primeiros a produzir escritos de natureza matemática. É fato que os documentos mais antigos matemáticos que chegaram até nós são sumérios.

Os babilônios usavam um sistema posicional e algumas inscrições mostram que, surpreendentemente, eles usavam não somente um sistema decimal mas também um sistema sexagesimal  (isto é, base 60) , o qual trazia enormes facilidades para os cálculos.

            Os mesopotâmicos foram os inventores da álgebra, do sistema posicional, desenvolveram os cálculos de divisão e multiplicação, incluindo a criação da raiz quadrada e da raiz cúbica. E utilizando símbolos para unidades e dezenas, podiam representar qualquer número.

Outros fatos notáveis

            Algumas tábuas mostram que os mesopotâmicos chegaram a resolver equações do 2. º e 3. º graus, usando palavras como incógnitas num sentido abstrato e conheciam bem o processo de fatoração.

            Acredita-se que os povos mesopotâmicos dominavam também as fórmulas de progressões geométricas. Seus desenvolvimentos podem ser constatados em tabuletas que indicavam relações entre os lados de um triângulo. Porém, essas tabuletas mostram apenas as questões e os resultados.

A matemática sempre foi utilizada como um instrumento, através do qual se podia explicar os fenômenos naturais, ou seja, suas causas e conseqüências.

            Os mesopotâmicos também representavam a natureza dos seres através da matemática.

Para eles os números também representam o bem e o mal: o bem era representado pelos números positivos e o mal pelos números negativos.

             Paralelamente a esse raciocínio desenvolveu-se o controle do patrimônio. Uma outra aplicação da matemática pelos mesopotâmicos se refere às funções.

Contabilidade da Mesopotâmia

             No ano de 1920, em Nuzi (norte da Babilônia), 49 fichas acompanhadas de uma tabela de pedra com inscrições cuneiformes listando um pequeno rebanho de carneiros, pertencente ao segundo milênio a.C., portanto, fora do período pré-histórico. Esses artefatos representam, aparentemente, a transferência desse pequeno rebanho .

            Sempre que algum animal era transferido para um pastor, a forma de registro desse evento era a transferência da ficha correspondente ao animal para outra caixa.

            A explicação para esse duplo registro (a tabela de pedra e as fichas), segundo Schmandt-Besserat (1992), foi que a caixa de barro contendo as fichas era provavelmente destinada ao pastor (ou devedor), enquanto a tabela constituía o recibo de proprietário (ou credor).

Jônias e os Pitágoricos

—  A escola Jônica originou-se na cidade de Mileto, na costa da Ásia Menor, que, por ser um centro mercantil, estava em contato constante com as antigas civilizações orientais. Pertencem à cultura cosmopolita desta cidade três filósofos: Anaximandro, Anaxímenes e Tales.

Anaximandro

—  Anaximandro(611-545), criou outra concepção de Cosmos, onde o mundo teria se originado de uma matéria de extensão infinita cilíndrica achatada, de topo plano, em equilíbrio no centro do universo (sem ponto de apoio, portanto). Diversos ``céus'' de forma esférica circundariam a Terra, envolvendo a atmosfera ``como a casca a uma árvore'' e possuindo uma natureza incandescente como a do fogo.

Anaxímenes

—  Anaxímenes (Meados sec. VII a C.), também da escola Jônica, as estrelas estariam pregadas numa esfera (ou semi-esfera?) de cristal. O firmamento giraria em torno da Terra. O elemento primário seria o ar, de onde tudo se originaria por condensações ou rarefações, como vemos nos fragmentos:

—  ``o contraído e condensado da matéria ele diz que é frio, e o ralo e o frouxo é quente''; ``como nossa alma, que é ar, soberanamente nos mantém unidos, assim também todo o Cosmo, sopro e ar mantém''

—  Os astros teriam a forma de discos planos, sustentados pelo atrito com o ar.

Tales

  TALES: fenício de origem, é considerado o fundador da escola jônica. É o mais antigo filósofo grego. Tales não deixou nada escrito, mas sabemos que ele ensinava ser a água a substância única de todas as coisas. A terra era concebida como um disco boiando sobre a água, no oceano. Cultivou também as matemáticas e a astronomia, predizendo, pela primeira vez, entre os gregos, os eclipses do sol e da lua.

—  No plano da astronomia, fez estudos sobre solstícios a fim de elaborar um calendário, e examinou o movimento dos astros para orientar a navegação. Provavelmente nada escreveu. Por isso, do seu pensamento só restam interpretações formuladas por outros filósofos que lhe atribuíram uma idéia básica: a de que tudo se origina da água.

    Segundo Tales, a água, ao se resfriar, torna-se densa e dá origem à terra; ao se aquecer transforma-se em vapor e ar, que retornam como chuva quando novamente esfriados. Desse ciclo de seu movimento (vapor, chuva, rio, mar, terra) nascem as diversas formas de vida, vegetal e animal. A cosmologia de Tales pode ser resumida nas seguintes proposições: A terra flutua sobre a água; A água é a causa material de todas as coisas. Todas as coisas estão cheias de deuses. O imã possui vida, pois atrai o ferro.  

Principais idéias de Tales:

—  PRINCIPAIS IDEIAS: Segundo Tales, o princípio de tudo está na água. A resposta pode parecer insatisfatória, mas a sua importância está no fato de que pela primeira vez na história do pensamento, busca-se uma solução racional, não mais fantasiosa, para a questão da origem de tudo. Ele parte do princípio de que tudo o que está vivo depende de água.

Pitágoras

—  Pitágoras nasceu no ano de 582 a.C., na ilha de Samos, filho de Mnesarcos, que contratou grandes homens da época, como, Ferecides e Hermodamas para ensiná-lo; com 18 anos participou de jogos olímpicos como pugilista e ganhou todas as competições que disputou. Com mais ou menos 19 anos, iniciou uma viajem em direção ao oriente; dirigiu-se primeiro a babilônia onde esteve em contato com os sábios da terra, homens que pertenciam a uma raça já antiga em cultura; depois, dirigiu-se a índia  onde encontrou Ciência e também a Filosofia budista, que o influenciou pelo resto da sua vida.

Pitágoras e a Música:

—  Obcecado por números, nos deixou a célebre frase: “todas as coisas são números”. Achava que o universo era um escala musical e ao número 1 (um) atribuía a própria essência da vida, pois tudo vem de um deus, que é onipotente, onipresente, e onisciente e é simplesmente um.

—  Pitágoras é considerado o pai da matemática e da música, e é considerado também um dos mais importantes filósofos daquela época, como menciona o filósofo Bertrand Russel, que classificou Pitágoras como “um dos homens mais importantes de todos os tempos no plano intelectual”.

Escola Pitágorica:

— Pitágoras durante a idade adulta fez muitas viagens , e teve a idéia de abrir uma escola na sua terra para transmitir conhecimentos aos habitantes de lá , mas essa idéia fracassou devido a virtude da inimizade que criou com um tirano de Samos, Policrates. Pitágoras não desistindo , partiu para Magna Grécia , em Itália , onde em Crotona , fundou a sua desejada escola ,que não era uma simples escola, mas sim uma comunidade filosófica, religiosa e política.

—  Quando a escola estava no auge de seu esplendor, foi fechada sob a acusação de apoiar a aristocracia, contrária ao governo, Pitágoras teve então de se refugiar em Metaponto, cidade em que ficaria até morrer, por volta do ano de 501 a.C. Mais durante quase dois séculos seus ensinamentos continuaram a serem transmitidos por seus discípulos, que se espalharam por diversas regiões.

—  Uma das grandes contribuições da escola pitagórica à matemática foi organizar algumas partes da geometria, como a teoria das paralelas, por meio do método demonstrativo. Ou seja, por meio de teoremas. Foram os pitagóricos os primeiros a dar verdadeiras demonstrações na história da matemática entre elas: que a soma dos ângulos internos de um triangulo é igual a 180º e a irracionalidade da raiz quadrada de dois; conceitos como números pares e números impares; com base em alguns depoimentos posteriores, acredita-se que os pitagóricos tenham sido o primeiro a fazer a demonstração daquilo que se tornaria conhecido como o Teorema de Pitágoras. Atualmente esse teorema costuma ser enunciado assim: “o quadrado da hipotenusa de um triângulo retângulo é igual a soma dos quadrados dos catetos”. Além de algumas nomenclaturas deixadas pelos pitagóricos, que continuam, mesmo sem percebermos em nosso dia a dia.

Teorema de Pitágoras:

—  Com o decorrer dos anos o homem sentiu a necessidade de medir suas terras, para isso , usavam o triângulo retângulo, que construíam utilizando o método da corda de nós, onde eles fincavam estacas tomavam uma corda de tamanho apropriado e nela davam nós para marcar 12 intervalos iguais. A corda era então fixada no chão com 3 estacas. A segunda estaca era fixada no 4º nó e a terceira no 8º nó. No encontro do 1º com o 3º nó ficava a primeira estaca. Com a corda bem esticada, o ângulo com vértice na segunda estaca era reto, porém os homens  daquela época nunca se perguntaram porque tais triângulos continham ângulos retos. A resposta a essa pergunta, foi dada pelos pitagóricos, com a demonstração do teorema de Pitágoras.

Euclides de Alexandria

Euclides começou seu trabalho educacional na    “Universidade de Alexandria”(Museu).

Logo tornando-se diretor de Matemática

(300 a.C.), onde escreveu e ensinou

Os Elementos e outros livros.

    O toque de gênio de Euclides está principalmente na organização lógica com que apresentou e provou, lacunas deixadas por outros matemáticos. Desta forma compreende-se o significado de seu nome “Boa Glória”.

As controvérsias

Pesquisas realizadas no século XIX no Campo da Axiomática:

1. Definições de ponto, reta e plano;
2. Formulação do Postulado das

Paralelas.

      As  críticas quanto a Geometria Euclidianas, mesmo reformuladas seriam igualmente válidos e coerentes, provando a genialidade da obra de Euclides.

Os Elementos _ Livro I

Contém 23 definições:

•      Teoremas familiares de congruência

 de triângulos;

•      Construção simples;

•      Desigualdades relativas a ângulos e

 lados do triângulo;

•      Propriedades de retas paralelas;

•      Paralelogramos;

•      Teorema de Pitágoras e sua recíproca.

Teorema de Pitágoras e Propriedade de Paralelismo  

Os Elementos _ Livro II

O menor dos livros com 14 definições:

•      Quadrado Perfeito _ (a+b)²=a²+ab+b²;

•      Construção do Segmento Áureo;

•      Quadrado de área equivalente a um

polígono qualquer. 

Segmento Áureo e Quadrado Perfeito

Os Elementos _ Livro III

Com 37 proposições, provavelmente descobertas por Hipócrates, dedicado à:

•      Circunferência(arcos, segmentos,

tangentes e cordas).

Os Elementos _ Livro IV

Com 16 definições:

•      Construção com régua e compasso de polígonos regulares.

Os Elementos _ Livro V e VI

Com 25 proposições:

•      Teorema das Proposições, de Eudóxo;

  “Se um número divide dois outros, ele

também divide a diferença entre eles”.

      Com 33 proposições:

•      Teorema das Proposições(Livro V), as figuras semelhantes. 

Os Elementos _ Livro IX

Com 36 proposições:

•      Números Primos;

    Sn=1+2+2²+...+2ᴺ‐¹=2ᴺ-1

•      Números Perfeitos;

    2ᴺ­¹(2ᴺ-1)

Os Elementos _ Livro X

     É o mais longo, com 115 Proposições

e o mais difícil de ser compreendido:

•      Grandezas incomensuráveis;

•      Trincas Pitagóricas; (x²+y²>2xy)

Os Elementos _ Livro XI

Com 39 proposições:

•      Figuras sólidas;

Os Elementos _ Livro XII

Com 18 proposições:

•      Áreas e Volumes

Os Elementos _ Livro XIV

Um Geômetra posterior, chamado Hípsicles

 (180 a.C.), produziu um livro com 8 proposições, onde veio a ser conhecido como o Livro XIV dos Elementos.

•      Sólidos regulares inscritos numa esfera.

Os Elementos _ Livro XV

    O Livro XV, escrito por Isidoro de Mileto (viveu por volta de 532 D.C.).

•      Sólidos regulares; (como inscrever alguns deles em outros números de arestas e ângulos sólidos nos sólidos e achando as  medidas dos ângulos diedros de faces que se encontram numa aresta).